Eyrún er fædd 26.október 1966 í Vestmannaeyjum. Eiginmaður hennar er Tryggvi Ársælsson, skipstjóri og eiga þau fjögur börn. Eyrún er viðskiptafræðingur að mennt. Eyrún er starfandi oddviti og sinnir því framkvæmdarstjórastöðu sveitarfélagsins. Eyrún er 1.varaþingmaður fyrir Sjálfstæðisflokkinn í Norðvesturkjördæmi. Hún situr í stjórn Orkubús Vestfjarða, varaformaður stjórnar Hafnasambands Íslands, aðalmaður í stjórn Samgöngunefndar Fjórðungssambands Vestfirðinga, fulltrúi Sambands íslenskra sveitarfélaga í Vatnaráði og varamaður í stjórn Tryggingastofnunar.